т р е н а ж ё р
ЕГЭ 2024. №8(7)
Касательная и производная.
Исследование функции.
Интерактивные тренажёры от
Лейсан Ахсановны Фахрутдиновой
Лейсан Ахсановны Фахрутдиновой
СКОРОСТЬ
материальной точки
в момент времени t:
v(t) = xʹ(t)
материальной точки
в момент времени t:
v(t) = xʹ(t)
x(t) - закон движения материальной точки
1 шаг
x(t) - закон движения материальной точки
Находим производную:
xʹ(t) = 12t - 48 = v(t);
xʹ(t) = 12t - 48 = v(t);
2 шаг
По условию задачи t = 9с:
v(t) = 12t - 48 = 12•9 - 48 = 60 м/с
ОТВЕТ: 60
v(t) = 12t - 48 = 12•9 - 48 = 60 м/с
ОТВЕТ: 60
1 шаг
x(t) - закон движения материальной точки
Находим производную:
v(t) = xʹ(t) = 2t - 13;
v(t) = xʹ(t) = 2t - 13;
2 шаг
По условию задачи v(t) = 3 м/с:
2t - 13 = 3;
t = 8 c.
ОТВЕТ: 8
2t - 13 = 3;
t = 8 c.
ОТВЕТ: 8
1 тип:
исследуем график функции f(x)
(промежутки возрастания и убывания)
исследуем график функции f(x)
(промежутки возрастания и убывания)
2 тип:
исследуем график производной функции fʹ(x)
(промежутки положительных и отрицательных значений производной)
исследуем график производной функции fʹ(x)
(промежутки положительных и отрицательных значений производной)
Задачи делим на два типа:
Задачи на исследование решаем через составление схемы
1 шаг
проводим координатную ось ОХ
2 шаг
слева, над осью, подписываем производную - fʹ(x);
слева, под осью, подписываем функцию - f(x)
слева, под осью, подписываем функцию - f(x)
fʹ(x)
f(x)
3 шаг
из графика выписываем абсциссы точек (х1, х2,...)
х1
х2
х3
хn
4 шаг
над осью проставляем ЗНАКИ ПРОИЗВОДНОЙ:
"+" - над промежутком, где производная принимает положительное значение;
"-" - над промежутком, где производная принимает отрицательное значение
(на данном рисунке знаки выставлены только для примера)
"+" - над промежутком, где производная принимает положительное значение;
"-" - над промежутком, где производная принимает отрицательное значение
(на данном рисунке знаки выставлены только для примера)
+
-
+
5 шаг
под осью расставляем стрелки для ФУНКЦИИ:
↑ - в этом промежутке функция ВОЗРАСТАЕТ - СТРОГО под знаком "+";
↓ - в этом промежутке функция УБЫВАЕТ - СТРОГО под знаком "-"
↑ - в этом промежутке функция ВОЗРАСТАЕТ - СТРОГО под знаком "+";
↓ - в этом промежутке функция УБЫВАЕТ - СТРОГО под знаком "-"
↑
↑
↑
6 шаг
по схеме отвечаем на вопросы задачи
х
Чтение схемы
1) точки экстремума - х2, х3
х2 - точка максимума функции;
х3 - точка минимума функции
х2 - точка максимума функции;
х3 - точка минимума функции
fʹ(x)
f(x)
х1
х2
х3
хn
+
-
+
↑
↑
↑
х
2) в точках экстремума fʹ(x) = 0
fʹ(x)
f(x)
-6
+
-
+
↑
х
Задача 6.1.
1 шаг
2 шаг
3 шаг
4 шаг
5 шаг
6 шаг
На графике - ФУНКЦИЯ.
ЗНАЧИТ - выделяем промежутки возрастания и убывания
ЗНАЧИТ - выделяем промежутки возрастания и убывания
переносим значения на ось Х
-3
5,6
7
-3
0
5,6
7
8
расставляем стрелки возрастания и убывания
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
по стрелкам определяем ЗНАК ПРОИЗВОДНОЙ и записываем над осью Х
-
-
выделяем промежутки, где ПРОИЗВОДНАЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНА
СЧИТАЕМ количество целых точек(целые числа):
-2, -1, 6 - всего ТРИ точки. ОТВЕТ: 3
-2, -1, 6 - всего ТРИ точки. ОТВЕТ: 3
ПОМНИМ! В точках, где меняются знаки - производная равна нулю.
6
-2
-1
7 шаг
fʹ(x)
f(x)
+
х
Задача 6.2.
1 шаг
2 шаг
3 шаг
4 шаг
5 шаг
На графике - ФУНКЦИЯ.
ЗНАЧИТ - выделяем промежутки возрастания и убывания
ЗНАЧИТ - выделяем промежутки возрастания и убывания
переносим значения на ось Х
1
расставляем стрелки возрастания и убывания
↑
↑
↑
↑
↑
↑
по стрелкам определяем ЗНАК ПРОИЗВОДНОЙ и записываем над осью Х
-
выписываем точки ЭКСТРЕМУМА
(точки максимума и точки минимума):
1, 2, 4, 7, 9, 10, 11
Считаем их сумму:
1 + 2 + 4 + 7 + 9 + 10 + 11 = 44
ОТВЕТ: 44
(точки максимума и точки минимума):
1, 2, 4, 7, 9, 10, 11
Считаем их сумму:
1 + 2 + 4 + 7 + 9 + 10 + 11 = 44
ОТВЕТ: 44
7
2
4
9
10
11
-2
2
4
7
9
10
11
12
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
+
+
+
-
-
-
fʹ(x)
f(x)
-
+
х
Задача 6.3.
1 шаг
2 шаг
3 шаг
4 шаг
5 шаг
На графике - ПРОИЗВОДНАЯ.
ЗНАЧИТ - выделяем промежутки знаков производной:
"+" - график выше оси ОХ;
"-" - график ниже оси ОХ
ЗНАЧИТ - выделяем промежутки знаков производной:
"+" - график выше оси ОХ;
"-" - график ниже оси ОХ
переносим значения и знаки на ось Х
-3
смотрим на знаки и расставляем стрелки возрастания и убывания
↑
↑
выделяем отрезок [-3;2], конечные точки включены.
-
-3
+
-8
3
-
обращаем внимание, как ведёт себя стрелка под этим отрезком:
она направлена ВНИЗ от точки (-3) к точке (2)
ЗНАЧИТ, (-3) расположена выше на этом отрезке и в этой точке ФУНКЦИЯ принимает наибольшее значение.
ОТВЕТ:-3
она направлена ВНИЗ от точки (-3) к точке (2)
ЗНАЧИТ, (-3) расположена выше на этом отрезке и в этой точке ФУНКЦИЯ принимает наибольшее значение.
ОТВЕТ:-3
↑
2
fʹ(x)
f(x)
-
+
х
Задача 6.4.
1 шаг
2 шаг
3 шаг
4 шаг
5 шаг
На графике - ПРОИЗВОДНАЯ.
ЗНАЧИТ - выделяем промежутки знаков производной:
"+" - график выше оси ОХ;
"-" - график ниже оси ОХ
ЗНАЧИТ - выделяем промежутки знаков производной:
"+" - график выше оси ОХ;
"-" - график ниже оси ОХ
переносим значения и знаки на ось Х
7
смотрим на знаки и расставляем стрелки возрастания и убывания
↑
↑
выделяем отрезок [-6;9], конечные точки включены.
-
7
+
-7
12
-
на данном отрезке только одна точка максимума
ОТВЕТ: 1
ОТВЕТ: 1
10
+
-
14
+
10
12
-
↑
↑
fʹ(x)
f(x)
+
х
Задача 6.5.
1 шаг
2 шаг
3 шаг
4 шаг
5 шаг
На графике - ФУНКЦИЯ.
ЗНАЧИТ - выделяем промежутки возрастания и убывания
ЗНАЧИТ - выделяем промежутки возрастания и убывания
переносим значения на ось Х
-2
расставляем стрелки возрастания и убывания
↑
↑
↑
↑
по стрелкам определяем ЗНАК ПРОИЗВОДНОЙ и записываем над осью Х
-
производная равна нулю в точках, где меняется знак (в точках экстремума)
Количество таких точек: 5
ОТВЕТ: 5
Количество таких точек: 5
ОТВЕТ: 5
1
-2
-1
4
6
-3
-1
1
4
6
9
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
+
+
-
-
+
Задача 6.6.
1 шаг
2 шаг
3 шаг
4 шаг
На графике - ФУНКЦИЯ.
Производная положительна на промежутках, где функция возрастает
(↑+)
Производная положительна на промежутках, где функция возрастает
(↑+)
расставляем стрелки возрастания и знак "+"
↑
↑
выделяем точки из задания, которые попали в промежутки возрастания
считаем полученные точки
Количество таких точек: 5
ОТВЕТ: 5
Количество таких точек: 5
ОТВЕТ: 5
↑
↑
↑
+
+
+
+
+
Задача 6.7.
1 шаг
2 шаг
3 шаг
4 шаг
На графике - ПРОИЗВОДНАЯ.
Функция возрастает там, где производная принимает положительное значение (↑+)
Функция возрастает там, где производная принимает положительное значение (↑+)
расставляем знаки "+" и стрелки возрастания ↑
↑
выделяем точки из задания, которые попали в промежутки возрастания
считаем полученные точки
Количество таких точек: 3
ОТВЕТ: 3
Количество таких точек: 3
ОТВЕТ: 3
↑
+
Касательная и окружность
касательная и секущая → прямая → y=kx+b
касательная
секущая
Прямая на координатной плоскости
прямая направлена вверх при k>0
угол - острый
угол - острый
y = kx + b
x
y
прямая направлена вниз при k<0
угол - тупой
угол - тупой
y = kx + b
x
y
прямая параллельна оси ОХ при k=0
нет угла
нет угла
y = kx + b
x
y
Условие параллельности прямых
прямые параллельны при k1 = k2
y = k1x + b
x
y
y = k2x + b
Условие перпендикулярности прямых
прямые перпендикулярны при k1 • k2 = -1
y = k1x + b
x
y
y = k2x + b
Угловой коэффициент - k
k = tgα = (y1/x1) > 0
угол - острый
угол - острый
y = kx + b
(k>0)
(k>0)
x
y
y1
x1
α
k = - tgα = - (y1/x1) < 0
угол - тупой
угол - тупой
y = kx + b
(k<0)
(k<0)
x
y
y1
x1
α
Задача 2.1. Нахождение угла между прямой и осью
1 шаг
2 шаг
3 шаг
4 шаг
анализируем данные:
прямая y = -5x - 6 параллельна касательной y = kx + b, значит k = -5;
НАЙТИ: х0
точка касания х0 только в формуле fʹ(x0) = k, значит, работаем по этой формуле
НАЙТИ: х0
точка касания х0 только в формуле fʹ(x0) = k, значит, работаем по этой формуле
записываем формулу производной в точке касания:
fʹ(x0) = k
вычисляем производную в точке касания:
fʹ(x0) = (х02 + 8х0 - 7)ʹ = 2х0 + 8
подставляем найденные значения в формулу (2 шаг):
fʹ(x0) = k
2х0 + 8 = -5;
х0 = -6,5 - ответ
2х0 + 8 = -5;
х0 = -6,5 - ответ
РЕШЕНИЕ:
k = 1/√3, k>0, угол - острый
tgα = k = 1/√3
tgα = k = 1/√3
tgα = 1/√3;
α = π/6
α = 300
α = π/6
α = 300
Ответ: 300
КАСАТЕЛЬНАЯ к графику функции y=f(x)
y = f(x)
x
y
Значение производной в точке касания х0
y = f(x)
x
y
f′(x0) = k = tgα (при k>0, острый угол)
f′(x0) = k = -tgα (при k<0, тупой угол)
f′(x0) = k = -tgα (при k<0, тупой угол)
x0
α
y = kx + b (k>0)
ВЫУЧИТЬ!
f′(x0) = k
f′(x0) = k
x0 - абсцисса точки касания
y = f(x)
x
y
f′(x0) = k = 0
(касательная параллельна оси ОХ)
(касательная параллельна оси ОХ)
y = b (k=0)
y = b (k=0)
x0
x0
ВЫУЧИТЬ!
f′(x0) = k
f′(x0) = k
x0 - абсцисса точки касания
Задача 3.2
(решите и проверьте ответ)
ПРОВЕРИТЬ
у=20
Задача 3.3
1 шаг
Касательная у=кх + b
параллельна прямой
у=3х - 11, значит,
k1=k2=3.
Знаем, что производная f'(x) = k.
Нам нужно определить количество точек, в которых производная равна 3.
Проводим прямую у=3
параллельна прямой
у=3х - 11, значит,
k1=k2=3.
Знаем, что производная f'(x) = k.
Нам нужно определить количество точек, в которых производная равна 3.
Проводим прямую у=3
(для просмотра РЕШЕНИЯ нажимайте на ШАГ)
2 шаг
3 шаг
считаем количество точек пересечения
Ответ: 6
у=3
Задача 3.5. Значение производной в точке касания.
1 шаг
выделяем точки, которые указаны на чертеже
(для просмотра РЕШЕНИЯ нажимайте на ШАГ)
2 шаг
3 шаг
строим третью точку так, чтобы получился прямоугольный треугольник
(гипотенуза ВСЕГДА лежит на касательной)
(гипотенуза ВСЕГДА лежит на касательной)
ВЫУЧИТЬ!
f′(x0) = k = tg α
f′(x0) = k = tg α
проводим расчёт по формуле
у1 - 2 клетки, х1 - 8 клеток
fʹ(x0) = k = -tgα = -(y1/x1) = -(2/8) = -0,25
у1 - 2 клетки, х1 - 8 клеток
fʹ(x0) = k = -tgα = -(y1/x1) = -(2/8) = -0,25
4 шаг
-определяем угол между касательной и осью ОХ;
-так как прямая направлена вниз, то к<0, значит - угол тупой
ответ со знаком "-".
-так как прямая направлена вниз, то к<0, значит - угол тупой
ответ со знаком "-".
x0 - абсцисса точки касания
Задача 3.6. Значение производной в точке касания.
(решите самостоятельно и ПРОВЕРЬТЕ результат)
ВЫУЧИТЬ!
f′(x0) = k = tg α
f′(x0) = k = tg α
проводим расчёт по формуле:
красная прямая - касательная;
чёрная прямая - параллельный перенос оси ОХ;
угол - тупой;
у1 - 6 клеток, х1 - 3 клетки;
fʹ(x0) = k = -tgα = -(y1/x1) = -(6/3) = -2
красная прямая - касательная;
чёрная прямая - параллельный перенос оси ОХ;
угол - тупой;
у1 - 6 клеток, х1 - 3 клетки;
fʹ(x0) = k = -tgα = -(y1/x1) = -(6/3) = -2
ПРОВЕРИТЬ
x0 - абсцисса точки касания
НАИБОЛЬШЕЕ значение производной в точке касания х0
y = f(x)
x
y
Если угол ОСТРЫЙ, то в точке х0 производная достигает НАИБОЛЬШЕГО значения.
(при k > 0 - наибольшее значение производной в точке х0)
(при k > 0 - наибольшее значение производной в точке х0)
x0
α
y = kx + b (k>0)
f′(x0) > 0
x0 - абсцисса точки касания
НАИМЕНЬШЕЕ значение производной в точке касания х0
y = f(x)
x
y
Если угол ТУПОЙ, то в точке х0 производная достигает НАИМЕНЬШЕГО значения.
(при k < 0 - наименьшее значение производной в точке х0)
(при k < 0 - наименьшее значение производной в точке х0)
x0
y = kx + b (k<0)
f′(x0) < 0
x0 - абсцисса точки касания
Задача 4.1. Наибольшее значение производной.
1 шаг
находим острые углы
(наибольшее значение при k>0)
(наибольшее значение при k>0)
(решите самостоятельно и ПРОВЕРЬТЕ результат)
2 шаг
3 шаг
из двух острых углов выбираем наибольший (визуально, это угол при х=4)
ОТВЕТ: 4
ОТВЕТ: 4
проводим касательные в указанных точках касания
(для просмотра РЕШЕНИЯ нажимайте на ШАГ)
Задача 4.2. Наименьшее значение производной.
1 шаг
находим тупые углы
(наименьшее значение при k<0)
(наименьшее значение при k<0)
(решите самостоятельно и ПРОВЕРЬТЕ результат)
2 шаг
3 шаг
из двух тупых углов выбираем самый маленький (визуально, это угол при х=1);
в этой точке производная принимает наименьшее значение.
ОТВЕТ: 1
в этой точке производная принимает наименьшее значение.
ОТВЕТ: 1
проводим касательные в указанных точках касания
(для просмотра РЕШЕНИЯ нажимайте на ШАГ)
Задача 3.6 . Нахождение абсциссы точки касания.
1 шаг
2 шаг
3 шаг
4 шаг
анализируем данные:
прямая y = -5x - 6 параллельна касательной y = kx + b, значит k = -5;
НАЙТИ: х0
точка касания х0 только в формуле fʹ(x0) = k, значит, работаем по этой формуле
НАЙТИ: х0
точка касания х0 только в формуле fʹ(x0) = k, значит, работаем по этой формуле
записываем формулу производной в точке касания:
fʹ(x0) = k
вычисляем производную в точке касания:
fʹ(x0) = (х02 + 8х0 - 7)ʹ = 2х0 + 8
подставляем найденные значения в формулу (2 шаг):
fʹ(x0) = k
2х0 + 8 = -5;
х0 = -6,5 - ответ
2х0 + 8 = -5;
х0 = -6,5 - ответ
Задача 3.7 . Нахождение абсциссы точки касания.
ПРОВЕРИТЬ:
k = 8
fʹ(x0) = k
fʹ(x0) = k
fʹ(x0) = (х02 - 3х0 + 8)ʹ = 2х0 - 3
2х0 - 3 = 8;
х0 = 5,5 - ответ
х0 = 5,5 - ответ
(решите самостоятельно и ПРОВЕРЬТЕ результат)
Задача 3.8 . Нахождение абсциссы точки касания.
(если получились два х0)
(если получились два х0)
5 шаг
4 шаг
После выполнения 1 шаг - 4 шаг из Задачи 6 получили две точки касания. Какую выбрать?
Подставляем каждую точку х0 в формулы прямой и функции. Там, где значения y совпадут, ту точку х0 и выписываем в ответ:
при х0 = 0:
у = -х + 4 = 0 + 4 = 4
у = х3 + х2 - х + 4 = 4
значения у совпали
у = -х + 4 = 0 + 4 = 4
у = х3 + х2 - х + 4 = 4
значения у совпали
ОТВЕТ: 0
fʹ(x0) = k
3х02 + 2х0 - 1= -1;
3х02 + 2х0 = 0;
х0 = 0 или х0 = - (2/3)
3х02 + 2х0 - 1= -1;
3х02 + 2х0 = 0;
х0 = 0 или х0 = - (2/3)
при х0 = - (2/3):
у = -х + 4 = 10/3 = 90/27
у = х3 + х2 - х + 4 = 130/27
значения у разные
у = -х + 4 = 10/3 = 90/27
у = х3 + х2 - х + 4 = 130/27
значения у разные
Задача 5.1 . Нахождение коэффициента a (b, с).
1 шаг
2 шаг
3 шаг
Прямая является касательной, значит, используем формулу
k = 3,
k = 3,
Подставляем в функцию у = ах02 + 2х0 + 3 найденное значение а, получаем:
fʹ(x0) = k :
fʹ(x0) = (ax02 + 2x0 + 3)ʹ = 2ax0 + 2;
2ах0 + 2 = 3;
а = 1 / (2х0)
2ах0 + 2 = 3;
а = 1 / (2х0)
; х0 = 4
Так как касательная и функция имеют общую точку, то приравняем правые части формул и найдём значение х0:
4 шаг
возвращаемся в 1 шаг и находим а:
Исследование функции
Выполнить тестирование ТОЛЬКО после прохождения обучения
Какой угол между прямой и осью ОХ?
Какой угол образует прямая у = -7х + 6 с осью ОХ?
Какая из указанных прямых является касательной?
Прямые перпендикулярны при...
В какой точке производная принимает наибольшее значение?
Если дан график ФУНКЦИИ, то исследование начинаем ...
Какой угол образуется между прямой и осью ОХ?
В какой точке производная принимает наименьшее значение?
Прямые параллельны при...
Точки экстремума - это ...
Скорость материальной точки равен ...
Какой угол образует прямая у = -8 с осью ОХ?
Какая прямая является секущей?
Производная функции в точке х0 касания равна...
Повторите обучение!
Практически получилось, но надо ещё повторить правила!
Вы успешно прошли обучение!
Поддержать проект
Ваши впечатления от проекта
Находясь на сайте, вы даёте согласие на использование файлов cookie
